関数解析bot @F_Analysis_bot
関数解析学の基礎的な問題を呟きます。表記法など、詳しくはウェブサイトを参照してください。 twittbot.net/modules/wiki/?… Banach空間 Joined August 2013-
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[11] Xを実Banach空間、f_1,…,f_n∈X'を一次独立な元とする。F:X→R^nをF(u)=(f_1(u),…,f_n(u))で定めるとき、u_1,…,u_n∈Xで、F(u_i)=e_iを満たすものが存在する。ただし、e_iはR^nの標準基底である。
[10] XをBanach空間とし、VをXの部分空間とするとき、任意のf∈V’に対して、F∈X'であって、V上F=fであり、||F||=||f||を満たすものが存在する。また、XがHilbert空間なら、Fは一意的に定まる。
[32] X,YをBanach空間、A:X→Yを有界線形作用素とする。このとき以下は同値である；(i)R(A)はY内で閉である。(ii)C>0であって、任意のu∈Xに対してd(u,N(A))≦C||Au||を満たすものが存在する。
[19] XをBanach空間、BをXの部分集合とする。任意のf∈X'に対してf(B)⊂Rが有界ならば、BはXの有界集合である。
[29] XをBanach空間、V⊂Xを閉部分空間、f∈X'とする。V^⊥={g∈X' ; 任意のv∈Vに対してg(v)=0}と書くとき、d(f,V^⊥)=sup{f(x) ; v∈V,||v||≦1}である。
[58] X,YをBanach空間とし、これらに強位相を入れた空間をX_1,Y_1、弱位相を入れた空間をX_2,Y_2とする。A:X→Yを線形作用素とするとき、以下は同値である；(i)A:X_1→Y_1は連続である。 (ii)A:X_2→Y_2は連続である。
[28](閉グラフ定理) X,YをBanach空間、A:X→YをD(A)=Xなる線形作用素とする。グラフ{(u,Au) ; u∈X}がX×Yの閉集合ならば、Aは有界である。
[8] XをBanach空間、VをXの部分空間とするとき、次は同値である；(i)VはX内で稠密である。(ii)f∈X'がV上で常に0ならば、f=0である。
[72] X,YをBanach空間、A∈L(X,Y)とし、R(A)はYの閉部分空間であるとする。このとき、商空間X/N(A)と、Yのノルムを入れたR(A)は、Banach空間として同型である。
[53] HをHilbert空間、{φ_n}を正規直交系とするとき、以下は同値である；(i){φ_n}は正規直交基底である (ii)任意のu∈Hに対してu=Σ(u,φ_n)φ_n (iii)任意のu∈Hに対して||u||^2=Σ|(u,φ_n)|^2
[19] XをBanach空間、BをXの部分集合とする。任意のf∈X'に対してf(B)⊂Rが有界ならば、BはXの有界集合である。
[62] Xをノルム空間、u∈Xとするとき、||u||=sup{f(u) ; f∈X',||f||≦1}である。
[39] XをBanach空間、T:X→Xをコンパクト作用素とする。このとき、任意のλ∈C,λ≠0に対して、(1)N(λ-T)は有限次元である。 (2)R(λ-T)は閉部分空間である。
[21] I=(0,1)とする。1≦p<q≦∞ならばL^q(I)⊂L^p(I)であるが、L^q(I)はL^p(I)内で閉か？
[63] Xを実ノルム空間、f:X→Rを線形汎関数、α∈Rとする。H={x∈X ; f(x)=α}とするとき、以下は同値である；(i)fは有界線形汎関数である。 (ii)Hは閉集合である。
[66] Xを閉区間[0,1]上の連続関数の空間とする。(1)Xのノルムを||u||=sup{|u(x)| ; 0≦x≦1}で定めると、Xは完備となる。 (2)Xのノルムを||u||=∫|u(x)|dx(積分範囲は[0,1])で定めると、Xは完備でない。
adhara_mathphys @adhara_mathphys
9K Followers 9K Following 製造企業勤務R&D．数理物理(対称性，可積分系，変数分離可能系)が趣味です．子がヤンチャである．アイコンはChatGPT作．
にわか王@数学�... @KingNiwaka
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Yuta Kataoka（片岡... @yutkatkitkat
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すぅ族 Henri•Sak... @oka_seki_mori
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Peter van Brick @petervanbrick
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吉田伸生著書�... @noby_leb
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Sou @Sou_chemath02
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下地泰斗 @taito0907
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