ゆくりなし @_abcdick
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(※)≦|Z(G)|･|G|+(|G|-|Z(G)|)･1/2･|G| =1/2･|Z(G)|･|G|+1/2･|G|²…(*) さらに、Gが非可換なので群G/Z(G)は巡回群でなく、位数は4以上。つまりZ(G)の位数は1/4･|G|以下であるから、 (*)≦1/8･|G|²+1/2･|G|²=5/8･|G|² よって、対偶をとることで主張が従う。
最近これの話題になったから証明書いとく 非可換な有限群Gに対して、元aと可換な元の個数は|C_G(a)|個、特にaが中心Z(G)の元なら|G|個 従って、可換な元の組の総数は、∑{a∈Z(G)}|G|+∑{a∉Z(G)}|C_G(a)|…(※) ここで、|C_G(a)|はGの真部分群なので、位数は1/2･|G|以下、従って(下に続く)
(有限)群の元の組(a,b)について、ab=baなる組が全体の8分の5より多いならアーベル群になる、みたいな主張見つけた、そうなのかー
がちでおもろい、これもう新視点botだろ
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