副有限君 @grp_bot
群論に関する問題を出すbot.名前は副有限君ですが,特に分野にこだわらず素朴な群論の問題を出します.間違いがあったらお気軽にリプをください.問題はこれから増えていく予定. Joined February 2015-
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[14]群Gとその部分群Hに対して,Hの正規化部分群Nを考える. ①H⊂Nである. ②Gの部分群Zについて,Z⊂N⇔[Z:H]⊂H. ③Gが冪零群でH≠Gなら,H≠Nである.
[4]Gの正規部分群Nとその剰余群Hについて考える. ①H,Nがねじれ自由ならGもねじれ自由であることを示せ. ②H,Nがcenter-freeならGもcenter-freeであることを示せ. ③H,Nが可解ならGも可解であることを示せ.
[17]p＞lなる素数p,lについて,Gを位数plの群とする. ①Gが冪零群⇔Gは可換群. ②Gが非可換なら,1→Z/pZ→G→Z/lZ→1という切断を持つ短完全列があり,p-1はlで割れる.Gは超可解群である. ③逆にp-1がlでわれたら,位数plの非可換群が一意に存在する.
[19]群Gの降中心列{G_i}(G_1=G)を考える. ①A_i=G_i/G_(i+1)はアーベル群で,A=⊕A_iは交換子[,]に関し,有理整数環Z上の次数付きLie代数となる. ②AはLie代数としてA_1で生成され,特にGが有限生成冪零群ならAは有限生成アーベル群.
[27]H⊂Gを有限群の部分群, Mを左H加群. ①左G加群の同型Z[G]⊗_{Z[H]}M≅Z[G/H]⊗_{Z}M≅M^{⊕G/H}があり, これもInd^G_H(M)と書く. ②Map(H\G,M)≅M^{⊕G/H}: f→(f(g^-1))_gは左G加群の同型,
[13]群Gの部分群Nが「任意のGの自己同型fに対し,f(N)=N」を満たすとき,Nは特性部分群であるという. ①特性部分群は正規部分群. ②直積と部分群で閉じるような群の性質P（アーベルなど）に対し,H=Ker(G→G^P)とする(G^PはGの副P完備化)とHは特性部分群.
[4]Gの正規部分群Nとその剰余群Hについて考える. ①H,Nがねじれ自由ならGもねじれ自由であることを示せ. ②H,Nがcenter-freeならGもcenter-freeであることを示せ. ③H,Nが可解ならGも可解であることを示せ.
[11]Gを群とする. ①Gの降中心列とは,G_0=G,G_(i+1)=[G,G_(i)]というGの正規部分群の減少列. ②Gの昇中心列とは,G^0={1},G^(i+1)=(G/G^iの中心のGへの引き戻し)というGの正規部分群の増大列. このとき,G_N={1}⇔G^N=G.
[21] ①有限生成群Gと自然数nに対し,指数nのGの部分群は有限個.また,Gが位相的有限生成な副有限群なら,指数nの開部分群は有限個で,特性部分群による単位元の開基がとれる. ②①から位相的有限生成な副有限群Gの連続自己同型群は副有限群となる.これはコンパクト開位相と一致.
[26]H⊂Gを有限群の部分群, Mを左H加群. 左G加群の同型Hom_Z[H](Z[G],M)≅Map_H(G,M) ≅Hom_Z(Z[H\G], M)≅Map(H\G,M)があり, これをInd^G_H(M)と書く. これは左H加群の圏から左G加群の圏への完全関手となる.
[16] ①有限群Gに対してGのシローp部分群Pを一つ考える.Pの正規化部分群Nに対し,Nの正規化部分群HはNと一致する. ②有限冪零群のシローp部分群は正規部分群である. ③p群は冪零群である.特に,有限冪零群であることと,各シローp部分群の直積であることは同値である.
[6]pを素数,l≠2をp+1をわる素数とする. ①GL(n,Z/pZ)の位数は(p^n-1)(p^n-p)…(p^n-p^(n-1)). ②非自明な半直積(Z/pZ⊕Z/pZ)⋊Z/lZが存在し,この群は必ず可解だが超可解でない. ③4次交代群A_4は可解だが超可解でない.
[10]群の性質で,直積と部分群でとじるか考える. ①有限,可解,アーベルはとじる. ②Σ⊂{素数全体}に対し「位数の素因数はΣの元のみ」はとじる. ③このような性質Pと群Gに対し{N⊂G：NはGの正規部分群でG/N はPを満たす}は逆系をなし,逆極限を副P完備化という.
[26]H⊂Gを有限群の部分群, Mを左H加群. 左G加群の同型Hom_Z[H](Z[G],M)≅Map_H(G,M) ≅Hom_Z(Z[H\G], M)≅Map(H\G,M)があり, これをInd^G_H(M)と書く. これは左H加群の圏から左G加群の圏への完全関手となる.
[21] ①有限生成群Gと自然数nに対し,指数nのGの部分群は有限個.また,Gが位相的有限生成な副有限群なら,指数nの開部分群は有限個で,特性部分群による単位元の開基がとれる. ②①から位相的有限生成な副有限群Gの連続自己同型群は副有限群となる.これはコンパクト開位相と一致.
[25]Gを群, 交わりが指数有限になる部分群Γ, Γ'の組をcommensurableであるといい, Γ~Γ'とかく. ①部分群全体で~は同値関係. ②部分群Γ⊂Gに対しComm(Γ)={g∈G; gΓg^(-1)~Γ}は部分群. ③Γ~Γ'ならComm(Γ')=Comm(Γ)
[19]群Gの降中心列{G_i}(G_1=G)を考える. ①A_i=G_i/G_(i+1)はアーベル群で,A=⊕A_iは交換子[,]に関し,有理整数環Z上の次数付きLie代数となる. ②AはLie代数としてA_1で生成され,特にGが有限生成冪零群ならAは有限生成アーベル群.
[6]pを素数,l≠2をp+1をわる素数とする. ①GL(n,Z/pZ)の位数は(p^n-1)(p^n-p)…(p^n-p^(n-1)). ②非自明な半直積(Z/pZ⊕Z/pZ)⋊Z/lZが存在し,この群は必ず可解だが超可解でない. ③4次交代群A_4は可解だが超可解でない.
[3]Gの正規部分群Nとその剰余群Hについて考える. ①H,Nが有限生成ならGも有限生成であることを示せ. ②Gが有限生成のときHは有限生成である.Nは有限生成であるといえるか？
[5]有限群Gに対し,Gの正規部分群の有限減少列｛G_i｝で,G_i/G_(i+1)が巡回群であるようなものがとれるとき,Gは超可解であるという.超可解ならば可解である. ①超可解群の部分群や商群は超可解群. ②可解だが超可解でない有限群を挙げよ.特に,超可解は拡大で閉じない.
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